Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko
Univerza v Mariboru, Slovenija
Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS
|
|
CAMTP Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko Univerza v Mariboru, Slovenija |
|
|
|
ARRS Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS |
CAMTP – Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko Univerze v Mariboru (0176)
Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru (2547)
1.7.2018 – 30.6.2021
ARRS – Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije
100.000 EUR letno
Prof. Dr. Marko Robnik, direktor CAMTP, 11337
Projekt je na področju kvantnega oziroma valovnega kaosa. Kvantna ali dinamična lokalizacija je eden ključnih pojavov v kvantnih klasično kaotičnih sistemih, nasprotna drugemu pomembnemu pojavu, namreč kvantni resonanci. Kvantna dinamika v klasično kaotičnih sistemih sledi klasični kaotični difuziji do Heisenbergovega časa, ko evolucijski operator še ne zazna lastne spektralne diskretnosti, za daljše čase pa se manifestira diskretnost tega spektra, pride do interferenčnih efektov, ki so tipično destruktivni in privedejo do ustavitve difuzije, torej do kvantne lokalizacije. Ta pojav se manifestira tudi v strukturi lastnih stanj v časovno neodvisnih kakor tudi v časovno periodičnih (Floquetovih) sistemih. Osrednja tema naših raziskav bo podrobna analiza lokalizacije, namreč empirični numerični opis lastnih stanj ter kvantna in semiklasična teorija lokalizacije, ne le povprečne vrednosti lokalizacijskih mer, temveč tudi njihovih porazdelitev. Nadalje bomo podrobno raziskovali povezavo med lokalizacijo lastnih stanj ter statistiko spektrov (energije ali kvazi energije). Na primer, raziskali bomo povezavo med stopnjo lokalizacije ter Brodyjevim parametrom beta. Pomembni modelski sistemi so t.i. Robnikov biiljard, epsilon-stadion Bunimoviča, Dickeov model laserja, ter vodikov atom v močnem magnetnem polju, kot časovno neodvisni sistemi, ter kvantni brcani rotor kot časovno periodični sistem (Floquetov sistem), poleg njega pa tudi drugi nelinearni enodimenzionalni Floquetovi sistemi, kot je n.pr. periodično modulirani kvartični oscilator. V slednjem primeru imamo kaos v klasičnem faznem prostoru, kaotično difuzijo in energija delca se lahko neomejeno povečuje (Fermijevo pospeševanje), zanima pa nas pod kakšnimi pogoji nastopi kvantna resonanca oziroma kvantna lokalizacija. Raziskali bomo pa tudi časovni razvoj kvantnih stanj v klasično kaotičnem režimu, ter preverili kako je le ta kvantitativno odvisna od relacije med klasičnim transportnim časom ter Heisenbergovim časom. Predlagali bomo eksperimente z mikrovalovnimi resonatorji, ki jih bi lahko izvedla skupina Prof. Hansa-Juergena Stoeckmanna na Univerzi v Marburgu, Nemčija, ter v laboratoriju Prof. Ulricha Kuhla na Univerzi v Nici, Francija. Nenazadnje bomo proučevali tudi višjedimenzionalne paradigmatične sisteme, kot so n.pr. Prosenovi biljardi (1998). Kvantna lokalizacija kaotičnih stanj privede tudi do posplošitve Berry-Robnikove teorije statistike spektrov v sistemih mešanega tipe.
Rezultate bomo objavili v uglednih mednarodnih znanstvenih revijah, ter jih predstavili na številnih mednarodnih konferencah, vključno s tistimi, ki jih redno organizira Prof. Robnik na CAMTP in so svetovno vrhunske, kot so n.pr. mednarodne poletne šole in konference "Let's Face Chaos through Nonlinear Dynamics" ter drugi simpoziji (Japan-Slovenia Seminars, Christmas Symposia, European Advanced Studies Conferences, etc.). Problemi v klasično kaotičnih kvantnih sistemih, torej tudi v sistemih mešanega tipa, so zelo kompleksni, hkrati pa izredno pomembni, saj so vsi generični hamiltonski systemi ravno mešanega tipa. Razumevanje podrobnih mehanizmov kvantne lokalizacije kaotičnih stanj je izjemnega pomena. Naši izsledki bodo prispevali k novim spoznanjem po teoretični, eksperimentalni in uporabni plati (atomski, molekulski, mezoskopski in tudi nano sistemi, ter klasični valovni sistemi, elektromagnetni, akustični, elastični, itd.)
Pregledni članek vodje projekta Prof. M. Robnik, ki obravnava dosedanje stanje raziskav v stacionarnem kvantnem kaosu, je bil nedavno objavljen kot posebno poglavje v monografiji
ROBNIK, Marko. Recent advances in quantum chaos of generic systems : wave chaos of mixed-type systems. V: MEYERS, Robert A. (ur.). Encyclopedia of complexity and systems science. Living ed. Berlin: Springer. 4. feb. 2020, 17 str. Springer reference. ISBN 978-3-642-27737-5, ISBN 3-642-27737-3. COBISS 98261249
Kvantni kaos je študij lastnosti kvantnih sistemov, namreč njihovega razvoja v času, lastnih stanj ter energijskih spektrov, pa tudi spektrov drugih opazljivk, ki so klasično kaotični, bodisi v celoti (ergodični v faznem prostoru oziroma na energijski ploskvi) ali pa delno, namreč mešanega tipa, ko v faznem prostoru koeksistirajo območja regularnega ter kaotičnega klasičnega gibanja. Slednje imenujemo sisteme mešanega tipa, ki so generični sistemi, t.j. skoraj vsi hamiltonski sistemi so tega tipa. Čeprav ime "kvantni kaos" skorajda zavaja, kakor da gre samo za študij kvantnomehanskih sistemov, temu ni tako, saj so motivacije, pristopi, metode in rezultati kvantnega kaosa uporabni v vseh valovnih sistemih, kot so n.pr. elektromagnetni valovi, še posebej n.pr. optični sistemi, mikrovalovni sistemi, akustična valovanja, fluidna površinska valovanja, seizmični valovi, plazemski valovi, itd. ki jih obravnavamo s podobnimi parcialnimi diferencialnimi enačbami. Relacija med kvantno mehaniko in klasično mehaniko je natanko analogna oziroma celo ekvivalentna relaciji med valovno mehaniko ter žarkovno mehaniko v drugih valovnih sistemih. Tak primer sta n.pr. valovna optika in Gaussova optika žarkov. Klasična mehanika je "mehanika žarkov" kvantne mehanike, in na njen "skelet" teoretično napenjamo s pomočjo semiklasičnih metod valovne lastnosti kvantnih sistemov, seveda v približku dovolj majhne efektivne Planckove konstante (približek kratkih valov). V tem smislu je semiklasična mehanika ključna vez med klasičnim in kvantnim kaosom, in prav z uporabo takšnih metod se je posrečilo teoretično izpeljati oziroma dokazati ključne empirične ugotovitve ali pa domneve v kvantnem kaosu. Kljub veliki širini področja se je ohranilo ime "kvantni kaos", namesto "valovni kaos", a se je potrebno zavedati navedene širine tega raziskovalnega področja teoretične in eksperimentalne fizike v vseh valovnih sistemih, ki ima aplikacije v skoraj vseh vejah fizike (kvantna mehanika, trdna snov, molekulska fizika, atomska fizika, jedrska fizika, elektromagnetna in druga zgoraj navedena valovanja).
Eno od osnovnih spoznanj v stacionarnem kvantnem kaosu je t.i. Bohigas-Giannoni-Schmit Conjecture (Phys.Rev.Lett. Jan. 1984) (domneva), da je namreč statistika spektralnih fluktuacij klasično povsem kaotičnih sistemov opisana natanko s statistiko Gaussovih naključnih matrik (GRMT: Gaussian Random Matrix Theory), pod pomembnim semiklasičnim pogojem, da je Heisenbergov čas daljši od vseh transportnih časov v pripadajočem kaotičnem klasičnem sistemu. Heisenbergov čas je definiran kot razmerje med Planckovo konstanto ter srednjim razmikom med energijskimi nivoji, in je pomemben karakteristični čas v dinamiki in strukturi vseh kvantnih sistemov. Domneva je prepričljivo potrjena numerično in eksperimentalno, v novejšem času pa je uspela tudi izpeljava s pomočjo semiklasičnih metod (Berry 1985, Richter and Sieber 2001, Haake et al 2004-2015), namreč v izračunu t.i. faktorja oblike (form factor). Jedro metode je Gutzwillerjeva teorija periodičnih orbit. Če je omenjeni semiklasični pogoj izpolnjen, vidimo tudi univerzalno vedenje lastnih stanj: velja princip enakomerne semiklasične kondenzacije Wignerjevih funkcij v klasičnem in kvantnem faznem prostoru (Principle of Uniform Semiclassical Condensation - PUSC; Percival 1973, Berry 1977, Robnik 1988-1998), na klasičnih invariantnih komponentah. Kaotične valovne funkcije se vedejo kot naključne Gaussove funkcije v konfiguracijskem prostoru, katerih srednja gostota je določena s PUSC, v smislu projekcije Wignerjeve funkcije iz faznega na konfiguracijski prostor. Če navedeni semiklasični pogoj ni izpolnjen, se pojavi t.i. kvantna ali dinamična lokalizacija. Namreč, v časovno odvisni sliki, ko študiramo časovni razvoj stanj v kaotičnem režimu, n.pr. valovnih paketov, vidimo, da kvantna evolucija sledi klasični, vključno z difuzijo, vendar samo do Heisenbergovega časa -- ko sistem slikovito rečeno "spozna", da je spekter evolucijskega operatorja diskreten, za razliko od klasičnega evolucijskega operatorja (Liouvilleovega operatorja), ki ima v primeru klasičnega kaosa zvezen spekter -- ko se difuzija ustavi. Namreč, za čase daljše od Heisenbergovega časa, se manifestira valovni značaj kvantne mehanike, pride do interference, ki je skoraj zmerom destruktivna, in zato ustavi kvantno difuzijo. Torej, če je Heisenbergov čas krajši od klasičnega transportnega časa, potrebnega za "osvojitev" vsega razpoložljivega kaotičnega območja v klasičnem faznem prostoru, pride do kvantne lokalizacije. Ta pojav je eden osrednjih in značilnih vprašanj v kvantnem kaosu. Lokalizirana stanja so tipično eksponentno lokalizirana, n.pr. v primeru brcanega kvantnega rotorja, v prostoru kvantnega števila vrtilne količine.
Kvantna lokalizacija pa se pojavi tudi v čisto stacionarni sliki, namreč, ko gledamo strukturo lastnih stanj ter pripadajočih Wignerjevih funkcij, ali pa Husimijevih funkcij, v kvantnem faznem prostoru: le-te niso več enakomerno razmazane po vsem klasično dosegljivem faznem prostoru, temveč "živijo" na pravi podmnožici razpoložljivega klasičnega kaotičnega faznega prostora. PUSC ne velja več, zaradi kvantne lokalizacije. V analogiji z brcanim kvantnim rotorjem smo uvedli lokalizacijsko mero stacionarnih kaotičnih stanj na osnovi informacijske entropije Husimijevih funkcij. Zelo pomembna pa je tudi manifestacija kvantne lokalizacije v spektralni statistiki kaotičnih sistemov: velja Brodyjeva porazdelitev med sosednjimi nivoji, za katero je značilno, da ima ulomljeno potenčno odbijanje sosednjih nivojev, kar smo pokazali v kvantnem brcanem rotorju (Manos and Robnik 2013, Batistić, Manos and Robnik 2013), ter v t.i. Robnikovem biljardu (1983,1984) kot pomembnih modelskih sistemih za ilustracijo ter preveritev splošne teorije. Pokazali smo, da obstaja funkcionalna odvisnost med mero lokalizacije ter spektralnim Brodyjevim parametrom (Batistić and Robnik 2013). Iz navedenega jasno sledi, da je pojav kvantne lokalizacije izjemno pomemben, je ena od osrednjih tem kvantnega kaosa klasično kaotičnih sistemov, in osrednja tema predlaganega raziskovalnega projekta. V sistemih mešanega tipa v dovolj globoki semiklasični limiti velja t.i. Berry-Robnikova slika (Berry and Robnik 1984, Robnik et al 1994-2014), ko lahko pojmovno ločimo regularna in kaotična stanja. Tedaj, zaradi odsotnosti efektov tuneliranja, lahko spektralne statistične lastnosti obravnavamo kot statistično neodvisno superpozicijo regularnih in kaotičnih spektralnih sekvenc, saj velja PUSC. Ta teorija je temeljito preverjena tudi numerično na modelskih sistemih (Prosen and Robnik 1994, Prosen 1998, Prosen and Robnik 1999, Batistić and Robnik 2010, 2013, Batistić, Manos and Robnik 2013), predvsem uporabljajoč t.i. Robnikov biljard (1983,1984). Slednji je enoparametrična družina generičnih biljardov med integrabilnim (krog) in povsem kaotičnim sistemom (lambda=1/2). Nadalje smo pokazali, da lahko s pomočjo Husimijevih funkcij ločimo regularna in kaotična stanja, ter da imajo prva Poissonovo statistiko, in druga Brodyjevo, in sicer natanko zaradi kvantne lokalizacije Husimijevih funkcij. Efekte tuneliranja lahko pri takšnih visokih energijah zanemarimo, a smo jih proučevali v prejšnjih delih (Vidmar et al 2007, Baecker et al, Phys. Rev. Lett., 2008, Batistić and Robnik 2010) pri nizkih energijah.
Veliko je še odprtih vprašanj okoli kvantne lokalizacije, in le-ta so predmet predlaganega projekta. V prvi vrsti je potrebno v kvantnem brcanem rotorju kot glavnem modelu časovno periodičnega (Floquetovega) sistema proučiti manifestacijo anomalne difuzije v kvantni lokalizaciji: ali so stanja res zmerom eksponentno lokalizirana (v prostoru kvantnega števila vrtilne količine)? Kako je lokalizacijska dolžina odvisna od klasične posplošene (anomalne) difuzije, ki smo jo (slednjo) temeljito analizirali v najnovejšem članku (Manos and Robnik 2014), v kontekstu pospeševalnih območij (accelerator modes)? Kakšen je vpliv kvantne resonance, oziroma njene bližine v danem sistemu? Pred nedavnim smo pokazali s pomočjo numeričnih računov (Manos and Robnik 2015), da ima lokalizacijska dolžina v kvantnem brcanem rotorju porazdelitev z neničelno varianco tudi v neskončno dimenzionalnem modelu. Semiklasično teorijo lokalizacijske dolžine bomo izboljšali ter izvedli vrsto sistematičnih in izčrpnih numeričnih simulacij, ki so izjemno zahtevne. Druga vprašanja se odpirajo v avtonomnih (časovno neodvisnih) hamiltonskih sistemih. Zanima nas lokalizacijska mera kaotičnih stanj, v različnih ekvivalentnih formulacijah, namreč kot informacijska entropija stanj ter kot korelacijska mera, in druge, tako v povsem kaotičnih sistemih kakor tudi v sistemih mešanega tipa, kjer lahko ločimo regularna in kaotična stanja. Pred nedavnim odkrita funkcionalna povezava med lokalizacijsko mero ter Brodyjevim spektralnim parametrom (Batistić and Robnik 2013, objavljeno v Phys.Rev. E) v avtonomnem hamiltonskem sistemu bo deležna nadaljnjih numeričnih in teoretičnih študij. Pri tem je potrebno zelo podrobno razumevanje transportnih procesov v klasičnih kaotičnih sistemih, za kar so potrebni zahtevni numerični računi ter novi teoretični pristopi. Tu se odpira vrsta podrobnih vprašanj različnih mehanizmov in vplivov na klasični transport, od periodičnih orbit in njihove okolice do cantorusov. Zanimajo nas univerzalnostne lastnosti sistemov. Naše raziskave bodo usmerjene v osrednjo teoretično vprašanje povezave med strukturo stanj in njihovo lokalizacijsko mero ter spektralno statistiko in Brodyjevim parametrom, v časovno odvisnih ter v časovno neodvisnih sistemih. Poleg biljardnih modelskih sistemov bomo proučevali še druge, kot je n.pr. vodikov atom v močnem magnetnem polju, ki je primer kvantnega kaosa par excellence (Robnik 1981,1982,1989), tako imenovani Dickeov model (model laserja; sklopitev atomskega dvonivojskega sektorja z bozonskim fotonskim poljem), in kvantni brcani rotor, ter druge Floquetove systeme. Naši rezultati bodo prispevali k razumevanju kvantne lokalizacije v kvantnih in drugih valovnih sistemih navedenih uvodoma, še posebej pa si bomo prizadevali za izvajanje eksperimentov, ki jih bomo predlagali odličnim eksperimentalnim skupinam.
Projekt zelo dobro napreduje v skladu z načrtovanim programom. Izvedli smo vrsto izjemno obsežnih raziskav in študij uporabljajoč intenzivne numerične metode ter razvili obširne semi-empirične teorije. Do sedaj smo dosegli in objavili naslednje rezultate.
Cilj 1: Spektralna statistika kvantno lokaliziranih kaotičnih lastnih stanj v kaotičnih sistemih in vloga Heisenbergovega časa
V modelskem sistemu biljardu stadionu Bunimoviča, za številne različne vrednosti parametra oblike epsilon, smo izvedli natančno analizo klasičnega transportnega časa (difuzijskega časa, za difuzijo v impulznem prostoru), in proučili statistične lastnosti energijskih spektrov v odvisnosti od skalirnega parametra alfa, ki je razmerje med Heisenbergovim časom in klasičnim transportnim časom. Intenzivni računi so potekali več kot eno leto. Pokazali smo, da Brodyjeva porazdelitev dobro opiše porazdelitev razmikov med sosednjimi nivoji, njen parameter beta (eksponent odbijanja med sosednjimi nivoji) pa je enolična racionalna funkcija parametra alfa, ki gre od 0 do 1, ko gre alfa od nič do neskončnosti.
Pokazali smo tudi, da je entropijska lokalizacijska mera A enolična racionalna funkcija alfa, ter da je Brodyjev parameter, eksponent beta, linearna funkcija parametra alfa, kar potrjuje našo domnevo oziroma delovno hipotezo.
[1] B. Batistić, Č. Lozej and M. Robnik, Nonlinear Phenomena in Complex Systems Vol 21 No 3 (2018) 225-236. COBISS 95735297
Cilj 2: Statistične lastnosti kvantne lokalizacije v kaotičnih sistemih (primer stadiona)
Na osnovi izjemno zahtevnih numeričnih računov (ki so potekali več kot eno leto!) smo pokazali, v primeru biljarda stadion, na osnovi izračuna Husimijevih funkcij lastnih stanj, da je lokalizacijska mera A linearno sorazmerna z t.i. "normalized inverse participation ratio" (nIPR) (normirano recipročno razmerje deleža udeležbe), ter da sta torej A in nIPR ekvivalentni. Nadalje smo potrdili, da ima A porazdelitveno funkcijo, ki je dobro opisana z beta porazdelitvijo. Le-ta je široka pri majhnih vrednostih alfa, a se krči z večanjem vrednosti parametra alfa (glej cilj 1 zgoraj), in gre v limiti, ko alfa stremi k neskončnosti, proti Diracovi delta funkciji pri A=Amax =1, ko imamo zgolj razširjena stanja in lokalizacije ni več. Natančno smo pregledali množico Husimijevih funkcij lastnih stanj ter karakterizirali njihove lastnosti, od maksimalno lokaliziranih stanj (maximally localized states) do povsem razpotegnjenih (entirely extended states).
[2] B. Batistić, Č. Lozej and M. Robnik, Nonlinear Phenomena in Complex Systems Vol 23 No 1 (2020) 17-32. COBISS 13655811
Cilj 3: Efekti cantorusov in lepljivosti v kaotičnih sistemih za kvantno lokalizacijo v sistemu mešanega tipa (t.i. Robnikov biljard)
V primeru modelskega sistema hamiltonskega sistema mešanega (generičnega) tipa t.i. Robnikovega biljarda, smo natanko proučili Husimijeve fukcije lastnih stanj. Tudi to delo je potekalo več kot eno leto. Ločili smo regularna in kaotična stanja, ter proučili statistiko lokalizacijske mere. Ponovno smo pokazali, da sta lokalizacijski meri A in nIPR linearno sorazmerni in zato ekvivalentni. Izračunali smo A za velik ansambel lastnih stanj, ter proučili njihove statistične lastnosti. Povprečna vrednost A je racionalna funkcija skalirnega parametra alfa, standardna deviacija A-jev pa ima strmen dvig pri A=0, ima maksimum, ter relativno položen rep. Porazdelitvena funkcija Ajev pa ima v splošnem kompleksno neuniverzalno strukturo, ki je povezana z lepljivimi območji, zaradi cantorusov, v klasičnem faznem prostoru. Šele pri dovolj velikih alfa, ko je kaos izrazit, kaotična območja pa enakomerno obiskana (ni lepljivih območij) postane porazdelitev Ajev beta porazdelitev, kakor smo to pokazali v primeru stadiona Bunimoviča (glej cilj 2 zgoraj). Tudi v tem sistemu velja za lokalizirana kaotična stanja, da je Brodyjev parameter približno linearna funkcija povprečnega.
[3] B. Batistić, Č. Lozej and M. Robnik, Physical Review E Vol 100 (2019) 062208 COBISS 98013185
Nadaljnji cilji, katerih rezultate že imamo in/ali jih pričakujemo v kratkem, v obliki objavljenih člankov, so tukaj navedeni na kratko:
Cilj 4: Podrobno razumevanje časovnega razvoja kvantnih stanj v klasično kaotičnih sistemih difuzivnega tipa ter vloga in analiza Heisenbergovega časa, v smislu reševanja časovno odvisne Schroedingerjeve enačbe. Razvili smo dve metodi reševanja časovno odvisne Schroedingerjeve enačbe za biljard stadion, namreč mrežne metode kot je n.pr. Cranck-Nicholsonova metoda, ter razvoj po baznih lastnih funkcijah. Pričakujemo, da bomo eksplicitno pokazali, da kvantna difuzija sledi klasični do Heisenbergovega časa. V to delo je bila vključena poleg Prof. M. Robnika predvsem Dr. Elnaz Darsheshdar.
Cilj 5: Podrobno in sistematično razumevanje vplivov cantorusov ter lepljivosti (v klasičnem faznem prostoru) na efekte kvantne lokalizacije: primer družine t.i. limonastih biljardov (lemon billiards). Izračunali smo izjemno obsežno Husimijeve funkcije ter energijske spektre za celo vrsto biljardov (okoli 30 različnih biljardov iz te družine) ter proučili njihovo klasično dinamiko (strukturo klasičnega faznega prostora). Podrobna analiza je pokazala podobne vendar nekoliko drugačne lastnosti lokalizacije ter statistike spektrov kot v drugih biljardih. Semiempirična teorija je zelo obsežna. V to delo so vključeni poleg vodje še predvsem Mag. Črt Lozej, Mag. Dragan Lukman in Benjamin Batistić.
Cilj 6: Podrobna analiza klasičnega transporta ter kvantne lokalizacije v gladkih hamiltonskih sistemih mešanega tipa: primer t.i. Dickeovega modela (dipolna sklopitev atomskega sektorja z elektromagnetnim poljem: dipolna sklopitev dvonivojskih atomov z bozonskim (fotonskim) poljem; model laserja). To delo se je izkazalo za zelo uspešno, in je prvi hamiltonski sistem z gladkim potencialom, kjer smo pokazali lokalizacijo kaotičnih stanj ter njene statistične lastnosti, namreč da lokalizacijska mera A izkazuje beta porazdelitev, ter da je povprečna vrednost ekvivalentna nIPR (normalized inverse participation ratio), in da vidimo Brodyjevo spektralno statistiko. V to delo je vključen predvsem Dr. Qian Wang, skupaj z vodjo projekta.
Cilj 7: Podrobna analiza Floquetovih sistemov (spektralna statistika in lokalizacija, še posebej v brcanem kvantnem rotorju)
Cilj 8: Razvoj semiklasične teorije kvantne lokalizacije (v pripravi), za kar je predpogoj obširna semiempirična analiza različnih kvantnih sistemov.
Cilj 9: Analiza spektrov in lokalizacije v vodikovem atomu v močnem magnetnem polju.
1. WANG, Qian. Performance of quantum heat engines under the influence of long-range interactions. Physical review. E. 2020, issue 1, vol. 102, 12 str. ISSN 2470-0053. DOI: 10.1103/PhysRevE.102.012138. [COBISS.SI-ID 23507459], [JCR, SNIP]
2. WANG, Qian. Signatures of quantum chaos in the dynamics of bipartite fluctuations. Physica. A, Statistical mechanics and its applications. [Print ed.]. nov. 2019, str. [1-9], ilustr. ISSN 0378-4371. DOI: 10.1016/j.physa.2020.124321. [COBISS.SI-ID 18586371], [JCR, SNIP]